Primanumaleset

Se Vükiped: sikloped libik
Bunön lü: nafam, suk

In numateor, primanumaleset (PNL) bepenon kondöti zaik, lasümptotik primanumas.

Spikölo no kuratiko, primanumaleset steton, das, if väloy ma fäd numi nilü num gretik N, mög, das num pevälöl binon primanum, leigon zao ko 1/ln N, kö el ln N malon logariti natik ela N. Samo, nilü N = 10.000, num za bal se zöls binon primanum; nilü N = 1.000.000.000, te num bal se teldegbals binon primanum.

Me vöds votik, primanums nesuvöfikons maä betikoy numis ai gretikumis, e primanumaleset bepenon kuratiko modi nesuvöfikama at.


Leset[redakönredakön fonäti]

Leigod bevü els π(x) (blöv), x / ln x (grün) e Li(x) (red).

Büolasumobsöd, das el π(x) binon numamasekät primanumas, o.b. sekät, kel givon numi primanumas läs ka, u leigölas ko, el x, if el x binon num jenöfik seimik. As sam, π(10) = 4 bi dabinons primanums fol (2, 3, 5, 7) läs ka, ü leigöls ko, el 10. Primanumaleset lesagon täno, das miedot müedota sekätas tel: π(x) e x / ln (x) du el x nilikon nenfine binon 1. Gebölo penamamodi hiela Landau, sek at kanon papenön as:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.

Küpälolös, das atos no sinifon, das miedot näedota sekätas tel, du el x nilikon nenfine, binon ser.

Stabü taibs hielas Anton Felkel e Jurij Vega, leset at päniludon fa hiel Adrien-Marie Legendre ün 1796, e päblöfon nensekidiko fa hiel Jacques Hadamard e hiel Charles de la Vallée-Poussin ün 1896. Blöfam matematik gebon metodis dileta komplitik, pato sekäti „zeta“ hiela Riemann.

Numamasekät primanumas stabü lintegral logaritik[redakönredakön fonäti]

Hiel Carl Friedrich Gauss äniludom, das nilikam nog gudikum ele π(x) pagivon dub lintegralasekät logaritik Li(x), pamiedetöl as:

 \mbox{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln t} \,\mbox{d}t = \mbox{li}(x) - \mbox{li}(2).

Lintegral at vo tikodükon, das „densit“ primanumas zü t muton binön 1/ln t. Sekät at tefon logariti medü stäänükam asümptotik:

 \mbox{Li}(x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\ln x)^k} 
= \frac{x}{\ln x} + \frac{x}{(\ln x)^2} + \frac{2x}{(\ln x)^3} + \cdots

Klu primanumaleset kanon papenön i π(x) ~ Li(x). Frut fomama at binon notod smalikum pöka. Ibo klülos se blöfam hielas Hadamard e de la Vallée Poussin, das:

 \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\mbox{as } x \to \infty

pro num positik semik a, kö O(...) binon penamamod hiela Landau. Atos pegudükumon ad:

\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \, \exp \left( -\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}} \right) \right).

Kodü tef vü sekät „zeta“ ela Riemann ed el π(x), nilud ela Riemann labon veüti gretik pro numateor: if pablüfonöv, givonöv täxeti gudikum pöka pö primanumaleset, ka ut, kel anu gebidon. Kuratikumo, hiel Helge von Koch äjonom ün 1901, das, if e te if nilud ela Riemann veraton, pök in tef löpo pemäniotöl kanon pagudükumön ad:

 \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right).

Num: a in el O gretik pätäxeton ün 1976 fa hiel Lowell Schoenfeld (if lasumoy niludi ela Riemann) as:

|\pi(x)-{\rm Li}(x)|<\frac{\sqrt x\,\ln x}{8\pi}

pro els x valik ≥ 2657. Ätüvom i miedoti sümik pro numamasekät primanumas hiela Chebyshev ψ:

|\psi(x)-x|<\frac{\sqrt x\,\ln^2 x}{8\pi}

pro els x valik ≥ 73.2.

Lintegral logaritik Li(x) binon gretikum ka π(x) pro els x „smalik“. Ün 1914 ye hiel J. E. Littlewood äblöfom, das atos no ai veraton. Völad balid ela x, pö kel π(x) pluons tefü el Li(x) binon zao x = 10316 (l. yegedi dö num hiela Skewes pro pats pluik).

Säk dö „dibät“[redakönredakön fonäti]

In laf balid tumyela 20id, matematans anik äsenälons, das dabinon nivodaleod metodas matematik, e das primanumaleset binon leset „dibätik“, kela blöfam flagons dileti komplitik. Metods gebü te sekäts jenöfik päcedons nefägikis. Hiel G. H. Hardy äbinon liman famik grupa at.

Kred at boso äsmalikumon sekü blöfam primanumaleseta stabü leset hiela Norbert Wiener dö leset hiela Tauber, do ämögos ad vüdön säkädi ägevölo lesete hiela Wiener „dibäti“ sümik ad ut dileta komplitik. Hiels Paul Erdős e Atle Selberg ye ätuvoms blöfami „balugik“ primanumaleseta, kel gebon te metodis numateora. Vobot elas Selberg e Erdős ibo äseilükon lesagis dö „dibät“ äjonölo, das metods „balugik“ (ön jenet at, metods yümätavik) äbinons fägikum, kas spetoy. Poso pub „sibametodas“ äjonon, das metods at älabons rouli fümik in teor primanumas.

Avigad et al. 2005 keninükon fomami blöfama at pefümodöl medü nünömaprograms in „teorodiblöfian Isabelle“.

Primanumaleset pro progedasökods kalkulavik[redakönredakön fonäti]

El \pi_{n,a}(x) malonöd numi primanumas in progedasökod kalkulavik a, a + n, a + 2n, a + 3n, … läs ka x. Hiels Dirichlet e Legendre äniludoms, ed el Vallée Poussin äblöfom, das, if a e n binons keprimanums, tän:


\pi_{n,a}(x) \sim \frac{1}{\phi(n)}\mathrm{Li}(x),

kö el φ(·) binon sekät totienik ela Euler. Me vöds votik, primanums padilons leigöfiko bevü klads bliböl [a] modulo n, binölo gcd(a, n) = 1.

Mieds numamasekäta primanumas[redakönredakön fonäti]

Primanumaleset binon sek lasümptotik. Kludo no kanon pagebön ad miedükön eli π(x).

Mieds anik pro el π(x) sevädons, as sam:

 \frac{x}{\ln x} < \pi(x) < 1.25506 \, \frac{x}{\ln x}

Neleig balid veraton pro els x ≥ 17, e telid pro el x > 1.

Meid frutik votik binon:

 \frac {x}{\ln x + 2} < \pi(x) < \frac {x}{\ln x - 4} \quad\mbox{for } x \ge 55

Nilikams primanume nid[redakönredakön fonäti]

As sek primanumaleseta, kanoy getön notodoti lasümptotik pro primanum nid, papenöl as pn:

p_n \sim n \ln n.

Nilikam gudikum binon

 p_n = n \ln n +  n \ln \ln n + \frac{n}{\ln n} \big( \ln \ln n - \ln n- 2 \big) 
+ O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).

Leset di Rosser lesagon, das pn binon gretikum ka n ln n. Atos kanon gudükumön medü pär sököl miedas:

 n \ln n + n\ln\ln n - n  < p_n <  n \ln n + n \ln \ln n \quad\mbox{for } n \ge 6.

Neleig nedetik pätüvon fa hiel Pierre Dusart (1999) e lonöfon pro n ≥ 2.

Taib elas π(x), x / ln x, e Li(x)[redakönredakön fonäti]

Is pajonon taib, in kel paleigodons sekäts kil: π(x), x / ln x e Li(x).

x π(x) π(x) − x / ln x π(x) / (x / ln x) Li(x) − π(x) x / π(x)
10 4 −0.3 0.921 2.2 2.500
102 25 3.3 1.151 5.1 4.000
103 168 23 1.161 10 5.952
104 1,229 143 1.132 17 8.137
105 9,592 906 1.104 38 10.425
106 78,498 6,116 1.084 130 12.740
107 664,579 44,158 1.071 339 15.047
108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,818,006,727 37,083,513,766,592,669,113 1.020 7,236,148,412 51.939

Süm ko polünoms no diletoviks love fel finilabik[redakönredakön fonäti]

Dabinon sümod primanumaleseta, kel bepenon „dilami“ polünomas no diletoviks love fel finilabik; fom ona sümon vemo ad jenet primanumaleset rigik.

Kuratiko spikölo, el F = GF(q) binonöd fel finilabik labü binets q, pegivölo el q semik fümik, ed el Nn binonöd num polünomas no diletovik labü koäf balid = 1 love F, kela grad = n. Atos sinifon, das sukoy polünomis labü koäfs pevälöl se F, kels no kanons papenön as naedam polünomas grada smalikum. Is polünoms at labons rouli primanumas, ibä polünoms votik valik labü koäf balid = 1 pabumons me naedams onas. Kanoy tän blöfön, das

N_n \sim \frac{q^n}{n}

If plaädoy eli x dub qn, tän flan detik leiga at vedon:

\frac{x}{\log_q x}

kelos kleilükon sümi. Bi dabinons ebo qn polünomas grada n labü koäf balid = 1 (keninükamü diletoviks), atos kanon pavotanotodön ön mod soik: if väloy polünomi grada n labü koäf balid = 1 ma fäd, tän mög, das binon no diletovik, binon za 1/n.

Kanoy igo blöfön sümodi niluda ela Riemann:

N_n = \frac{q^n}n + O\left(\frac{q^{n/2}}{n}\right).

Blöfams lesetas at binons balugikum, ka jenets klatädik. Tefons blöfädi yümätavik brefik, ma kel binet alik stäänükama grada n ela F binon vul polünoma no diletovik semik, kela grad d müedon n; vulis at ön mods difik tel änumölo, kanoy fümedön, das

q^n = \sum_{d\mid n} d N_d

kö saedam lonöfon love müedians valik d ela n. Güükam hiela Möbius givon:

N_n = \frac1n \sum_{d\mid n} \mu(n/d) q^d

kö el μ(k) binon dinod ela Möbius. (Leig at ya päsevon fa hiel Gauss.) Cifadil komon ven d = n, e no fikulos ad miedükön dilis votik. „Nilud ela Riemann“ sekidon de jenöfot, das müedian legik gretikün ela n no kanon pluon tefü n/2.

Reidolös i yegedis (Linglänapükik):[redakönredakön fonäti]

Literat[redakönredakön fonäti]

Yüms plödik[redakönredakön fonäti]

In Linglänapük: